on the verge of extinction... again

Explicatie la nivel de clasa a sasea, deci ceva mai foarte lunga...

Recapitulare:

Se da un tetraedru regulat avand lungimea unei laturi egala cu l. In el se inscriu patru sfere (fiecare din cele patru sfere este tangenta la celelalte trei si la trei din cele patru fete ale tetraedrului).

Cum arata asta? Pai hai sa lamurim in primul rand ce este acela un tetraedru regulat: o figura geometrica cu 4 fete, fiecare fata fiind un triunghi echilateral (cu toate cele trei laturi egale); si, in acelasi timp, cu patru varfuri si sase laturi. Animatie pentru cine n-a inteles explicatia scrisa.

Cum arata un tetraedru se poate vedea in lateral (imaginea este furata de pe f-lohmueller.de).

CM_(AB) este inaltimea unei fete. O_base este centrul de greutate al unei fete, sau punctul in care se intersecteaza medianele (care, in cazul triunghiului echilateral, coincid cu mediatoarele, bisectoarele si inaltimile). O_base se gaseste la doua treimi de varf. Adica imparte CM_(AB) in doua segmente CO_base si O_baseM_(AB), ale caror lungimi sunt de 2/3 si respectiv 1/3 din lungimea CM_(AB).

DO_base este inaltimea tetraedrului. DO este egal cu AO, BO si CO si reprezinta raza sferei circumscrise tetraedrului (adica sfera cu centrul in O si pe a carei suprafata se gasesc punctele A, B, C si D)

Latura tetraedrului (oricare din segmentele AB, BC, CD, DA, AC, BD) este l.

Acum vine momentul neplacut in care trebuie sa inghititi cateva formule. Nu stau sa le demonstrez, sunt sigura ca demonstratiile se gasesc usor pe net. Notam inaltimea unei fete cu h_eq, inaltimea tetraedrului cu H si raza cercului circumscris cu C_c.

[Ecuatiile arata ca dracu', scuze, nu se pupa formatarile pe care le pune la dispozitie LaTeX cu ce am eu in tema de blog, nu m-am gandit ca o sa pun si asa ceva in postari cand am facut tema, n-am stiluri definite. Suportati-le asa urate pana umblu eu putin in CSS-ul meu.]

Acum ajungem si la cele patru sfere inscrise in tetraedru. Fiecare din cele patru este tangenta la celelalte trei si la trei din fetele tetraedrului. Se poate spune si ca fiecarui varf al tetraedrului ii corespunde una din cele patru sfere. Cum arata se poate vedea in poza din lateral. Trei sfere "jos", o sfera "sus".

Ce ar trebui remarcat acum este faptul ca alea patru centre ale sferelor sunt si ele varfurile unui tetraedru regulat mai mic. Mai mult, ele apartin segmentelor DO, AO, BO si CO (dupa notatiile din prima poza de sus), iar O este si centrul cercului circumscris acestui tetraedru mai micut. Ilustratie in lateral, furata de pe 8foxes.blogspot.com si usor modificata.

Fiecare din cele patru sfere este tangenta la celelalte trei. Asta inseamna ca jumatatea fiecareia din laturile tetraedrului ala mai mic ale carui varfuri sunt centrele sferelor (A', B', C' si D') este fix in punctul in care sferele se ating. De unde rezulta ca latura tetraedrului mic este dublul razei. Ma refer la raza uneia din cele patru sfere mari din tetraedru (poza doi, cea doar in tonuri de gri), pe care o notam acum cu R, ca sa scapam de denumirile kilometrice. A doua formula din cele trei de mai sus ne ajuta sa calculam inaltimea H' a tetraedrului mic, este:

Notam cu O'_base punctul in care inaltimea tetraedrului mic, coborata din D' pe planul bazei (A'B'C'). Acum trebuie observat faptul ca inaltimea DO_base a tetraedrului mare se poate imparti in trei segmente:

• DD', pe care o sa-l discutam imediat
• D'O'_base, care este inaltimea tetraedrului mic, H', calculata putin mai sus in functie de raza R
• O'_baseO_base, care reprezinta distanta dintre planul pe care se gasesc centrele A', B' si C' si planul bazei (ABC) a tetraedrului mare; distanta care este chiar R

Calculul lui DD' se reduce la o problema de geometrie in plan. Ne concentram strict pe triunghiul DO_baseM_(AB). Din punctul D' ducem o perpendiculara D'P pe DM_(AB). Triunghiurile dreptunghice DO_baseM_(AB) si DD'P au un varf comun (D), deci sunt asemenea. Prin urmare, putem scrie:

Si apoi inlocuim:

Simplificand, DD' este 3R. Deci daca adunam cele trei segmente din care este compus segmentul DO_base si tinem cont de faptul ca acelasi segment DO_base reprezinta inaltimea tetraedrului mare, H, pentru care avem formula sus:

Simplificam si rezulta:

De unde rezulta ca R este:

Arata cam urat, nu? Amplificam cu conjugata:

Mai ramane de facut o scadere si o inmultire si... tadaaa! Rezultatul final pentru raza R a uneia din cele patru sfere mari din tetraedru:

Daca va este cam greu sa intelegeti radicalul, lucrurile stau in felul urmator 2.5² este 6.25, 2.4² este 6.25 - (2.5 + 2.4), adica 5.76, deci radical din 6 ar trebui sa fie pe undeva pe la 2.45. Daca mai scadem 1, ramanem cu 1.45. Pe care il impartim la 10, deci ajungem la 0.145, ceea ce inseamna ca raza R este aproximativ 14.5% din latura l a tetraedrului. Ca fractie, asta ar fi aproximativ l/7.

Dupa atata drum lung, ajungem in sfarsit si la cerinta:

Se cere: raza r a sferelor mici tagente la una din fetele tetraedrului si la trei din cele trei sfere mari, exprimata in functie de latura tetraedrului (adica l).

Consideram in particular sfera mica de "jos". Cea tangenta la sferele ale caror centre sunt A', B' si C' si la fata ABC a tetraedrului mare. Centrul ei, sa-i zicem S este situat tot pe segmentul O_base si atinge fata ABC in punctul O_base. Bineinteles, distanta SO_base este egala cu r.

Chestia draguta este ca distanta O'_baseO_base este egala cu R (pentru ca este distanta dintre planul in care sunt centrele A', B' si C' ale celor trei sfere mari de "jos") si planul (ABC) al bazei tetraedrului initial. Ceea ce inseamna ca distanta SO'_base este agala cu R-r.

Din faptul ca sfera asta mica este tangenta la sferele cu centrele in A', B' si C', rezulta ca distantele SA', SB' si SC' sunt toate egale cu R-r.

A'B'C' este un triunghi echilateral, avand centrul de greutate in O'_base. Ceea ce inseamna ca distanta A'O'_base, de exemplu, este egala cu 2/3 din inaltimea respectivului triunghi echilateral. Prima formula spune care este valoarea inaltimii intr-un triunghi echilateral de latura l. Tinand cont de faptul ca latura triunghiului A'B'C' este egala cu 2R, rezulta ca:

Sau, ceva mai frumos dupa simplificari:

Consderam triunghiul O'_baseSA', triunghi dreptunghic. De ce dreptunghic? Pentru ca SO'_base este perpendicular pe planul (A'B'C') de unde rezulta ca este perpendicular pe toate dreptele din plan, iar A'O'_base se gaseste in planul (A'B'C').

Ne folosim de teorema lu' nenea Pitagora si, inlocuind in SA' ²=A'O'_base²+SO'_base², avem ca:

Se ridica la putere, se reduc ceva termeni...

Hmmm, mai merge simplificat...

Si r in functie de R este:

R in functie de l a fost calculat mai sus, trebuie doar facuta inlocuirea:

M-am cam plictisit de scris ecuatii, asa ca pe celelalte doua nu le mai calculez detaliat, dau doar cateva indicii. Pentru calculul r₁ se procedeaza cam la fel ca pentru calculul lui DD' (tot problema de geometrie in plan cu triunghiuri dreptunghice asemenea). Iar r₂ (poza furata de pe physicsforums.com) este si mai simplu de calculat: este diferenta dintre raza sferei circumscrise tetraedrului A'B'C'D' si raza R.